?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Этот текст - продолжение полушуточно-математического цикла http://palaman.livejournal.com/116030.html

Морфизмом называется такое отображение конфликта K в конфликт K’=f(K), при котором каждому участнику a из K соответствует такой участник a’=f(a) из K’=f(K), а каждому конфликту (ab) из K соответствует конфликт (a’b’)=f((ab)) из K’, иными словами, f((ab))=(f(a)f(b)).


Наибольший интерес представляют три случая:


  1. когда K и K’ содержат одинаковое количество участников; в этом случае K и K’ называются изоморфными; эти два конфликта имеют совершенно одинаковую структуру и с точки зрения излагаемой теории оказываются эквивалентными, так как они структурно неразличимы,

  2. когда K и K’ просто-напросто совпадают: f(K)=K, такой морфизм называется автоморфизмом конфликта K и выявляет его внутреннюю симметрию; множество автоморфизмов конфликта K образует группу его симметрии (по суперпозиции),

  3. когда K’ проще, чем K, то есть, содержит меньшее количество участников и простых парных конфликтов; в этом случае K’ выявляет внутреннюю структуру конфликта K.



По пункту (3).
Пример такого выявления уже был приведен выше: для всякого двустороннего конфликта существует морфизм в простой парный конфликт. То есть, всякий двусторонний конфликт есть всего лишь некоторое чисто количественное усложнение простого парного конфликта: одна коалиция выступает против другой.
Конфликты с такой структурой очень распространены в реальности, так как они обладают тем свойством, что их участники соблюдают естественную в конфликтной ситуации формулу «враг моего врага – мой друг», нарушение которой часто бывает невыгодным в конфликтных ситуациях. Потому её чаще всего и не нарушают.
Без вреда для себя нарушить этот принцип может позволить себе как правило только очень сильный, влиятельный и независимый участник конфликта, который как правило же оказывается либо гегемоном, либо субгегемоном (либо простым болваном, если он ни то и ни другое) данного конфликта. Но, как уже было сказано выше, отсутствие нечетных циклов является необходимым и достаточным условием того, что данный конфликт является двусторонним.
Следовательно, выявление нечетных циклов конфликта является средством выявления гегемона и субгегемона (а заодно и простых болванов) в данном конфликте.
Для осуществления этой задачи нужно исследовать матрицу данного конфликта.
Из теории графов известно, что n-ая степень матрицы конфликта есть матрица, показывающая количество конфликтных цепей длины n, ведущих от одного участника к другому. А именно, элемент (k,m) этой матрицы есть количество конфликтных цепей, связывающих участника k с участником m. Следовательно, для обнаружения всех нечетных циклов достаточно возвести матрицу данного конфликта во все нечетные степени и посмотреть, что там стоит на главной диагонали. Ведь m-ый элемент диагонали n-ой степени матрицы конфликта есть количество циклов длины n, в которых участвует m. Если для какой-либо нечетной степени это количество больше нуля, значит участник m является особенным участником - гегемоном, субгегемоном, либо простым болваном вроде императора Генриха VII (1275-1313), о котором я писал недавно. Замечу, что Амадей V Великий не нарушает общей закономерности. Он не был ни гегемоном, ни субгегемоном, ни болваном. Ведь перекинувшись на сторону Венеции, он не участвовал ни в каких конфликтах, а просто держался особняком, за это самое получив от незадачливого Генриха графство Асти.

По пункту (1).

Количество различных конфликтов, несводимых друг ко другу, очень быстро нарастает с нарастанием числа участников.

Для трех участников существует всего 2 связных конфликта: один древовидный вида (abc)



и один полный (треугольник K3=C3)



Для четырех участников их существует уже шесть, три из которых двусторонние (напомню - это где участники естественно разбиваются на две коалиции):



И три содержат нечетные циклы:



Общее же количество возможных (связных и несвязных) графов для четырех участников равно 11, для 5 соответственно 34, а далее лавинообразно: 156, 1044, 12346, 274668, 12005168, 1018997864, 165091172592, 50502031367952, 29054155657235488, 31426485969804308768, 64001015704527557894928, 245935864153532932683719776, 1787577725145611700547878190848...

В заключение исключительно ради чистого торжества математической эстетики приведу изображения всех связных конфликтов для 5-ти участников. Лишь первые 5 из них являются двусторонними, все прочие содержат нечетные циклы: