?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

(n5 - n) кратно 240 для любого нечетного n.

Случайно обнаружил этот удивительный факт.
Не перестаю изумляться таким вещам.
В математике более чем где бы то ни было ощущается гармония сфер. А в теории чисел - особенно!

В связи с этим - анекдот.

Трое математиков и трое физиков собираются ехать на поезде в другой город на конференцию. Они встречаются перед кассой на вокзале. Первой подходит очередь физиков и они, как все нормальные люди покупают по билету на человека. Математики же покупают один билет на всех.
-- Как же так? - удивляются физики -- Ведь в поезде контролер, вас же без билетов оттуда выгонят!
-- Не волнуйтесь -- отвечают математики -- У нас есть МЕТОД.
Перед отправкой поезда физики рассаживаются по вагонам, но стараются проследить за применением загадочного метода. Математики же все набиваются в один туалет. Когда контролер подходит к туалету и стучит, дверь приотворяется, оттуда высовывается рука с билетом. Контролер забирает билет и дальше все они без проблем едут в пункт назначения.
После конференции те же вновь встречаются на вокзале. Физики, воодушевившись примером математиков, покупают один билет. Математики не берут ни одного.
-- А что же вы покажете контролеру?
-- У нас есть МЕТОД.
В поезде физики набиваются в один туалет, математики -- в другой. Незадолго до отправления, один из математиков подходит к туалету, где прячутся физики.
Стучит. Высовывается рука с билетом. Математик забирает билет и возвращается к коллегам.

МОРАЛЬ: Нельзя использовать математические методы не понимая их до конца!

ОБОБЩЕНИЕ: Если n нечетное, а s простое число, то (ns - n) делится без остатка на 24s. Кроме! случая s=3. В этом случае (n3 - n) делится только на 24.

Comments

( 9 comments — Leave a comment )
(Deleted comment)
palaman
Jan. 29th, 2016 08:37 pm (UTC)
Это возведение в степень.
N**m - это то же, что Nm
moskaliuga
Jan. 29th, 2016 06:09 pm (UTC)
Да, ещё одна загадка.
palaman
Jan. 29th, 2016 07:40 pm (UTC)
Доказательство
Во-первых, из малой теоремы Ферма сразу вытекает, что (n5 - n) обязательно делится на 5.
Во-вторых, n5-n = n(n4-1) = n(n2-1)(n2+1) = (n-1)n(n+1)(n2+1)

Но (n-1)n(n+1) - это произведение трех последовательных чисел. А из трех таких чисел одно обязательно делится на 3.

Далее, если n - нечетно, то n-1, n+1 и n2+1 - это обязательно четные числа. Все три! Значит, наше число обязательно делится на 8.

Итого, оно делится на 5*3*8 = 120.
Осталось найти ещё одну спрятанную двойку - и дело в шляпе.

Хотите - найдите её самостоятельно. А хотите - я сам её Вам вытащу.


Edited at 2016-01-29 07:54 pm (UTC)
moskaliuga
Jan. 29th, 2016 08:07 pm (UTC)
Re: Доказательство
Что вы!
Я ваши выкладки буду неделю переваривать.
Но всё равно интересно.

Edited at 2016-01-29 08:08 pm (UTC)
palaman
Jan. 29th, 2016 08:41 pm (UTC)
Re: Доказательство
Идея оставшейся невысказанной части доказательства проста: если у вас есть нечетное число n, то два ближайших к нему числа (n-1) и (n+1) не просто четные! Одно из них непременно делится на четыре.

Edited at 2016-01-29 09:09 pm (UTC)
moskaliuga
Jan. 30th, 2016 07:22 am (UTC)
Re: Доказательство
Спасибо за пример математического мышления.
Всегда им восхищался.
palaman
Jan. 30th, 2016 11:10 am (UTC)
Польщён.
Но поверьте мне, настоящее математическое мышление я продемонстрировать просто не в силах. Я таки не математик, в физик по складу ума. Математикой я, естественно, умею пользоваться - ведь физика есть искусство прикладывать математику к реальной жизни. Но не более того. Я - не математик.
У меня были (и есть) друзья-математики, настоящие, и я ими восхищаюсь так же как и Вы.
lp_lp_lp_lp
Jan. 29th, 2016 09:54 pm (UTC)
Я только закончив вуз, как-то начал по верхам понимать матан и прочее. Который кое-как сдал в итоге на 3, заучив полтора вопроса. Ну вот тарабарщина была и все.
palaman
Jan. 30th, 2016 11:07 am (UTC)
Да, математика требует зрелости.
Ребенок математику как таковую вообще воспринять не может, потому что у него наглядно-образное мышление. А математика - это искусство работы с чистой абстракцией.
Математика - самая гуманитарная из наук, потому что она (и только она) имеет дело творениями человеческого ума безотносительно к объективной реальности.
( 9 comments — Leave a comment )