?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Грустный праздник - день убийства Великого Иоанна Предтечи - в общем позади. (Церковный день начинается с вечера и заканчивается вечером.) И у меня возникло желание немного пошутить :)

Перед нами лист бумаги с двумя утверждениями:

1) Единорог существует.
2) Оба утверждения на этом листе ложны.

Рассмотрим сначала утверждение (2). Если бы оно было истинно, то оба утверждения были бы ложны. В частности, было бы ложно утверждение (2), и мы пришли бы к противоречию. Следовательно, утверждение (2) ложно. Значит, не верно, что оба утверждения ложны, поэтому по крайней мере одно из них истинно. Так как утверждение (2) не истинно, то истинно должно быть утверждение (1). Следовательно, Единорог существует.

;)
[Уверен, что у большинства читателей возникнет желание найти логическую ошибку в этом рассуждении, но большинство её там не найдёт. Разгадка сей загадки - под спойлером!]

Но сначала подсказка.

Это пример задачи, в которой не работает закон исключенного третьего. Нельзя доказывать от противного.

Вот ещё более простой пример для понимания.

"Данное утверждение, которое вот тут написано и Вы его сейчас читаете, ложно"

Если оно истинно, то оно говорит о себе правду, а оно говорит, что оно ложно. Значит, оно не может быть истинным.
А если оно ложно (а оно говорит, что оно ложно), то оно истинно. Значит, оно не может быть и ложным.
Значит, бывают такие утверждения, которые и не истинны, и не ложны.

[Ну, и вот обещанная загадка.]Второе утверждение из тех двух - как раз такое. Оно не истинно, но и не ложно.

Между тем, рассуждая, мы неявно исходили из постулата, что если оно не истинно, то оно ложно. К сожалению, в данном случае сам этот постулат ложен :(
Конечно, это ужасная ситуация, потому что на этом примере видно, что НЕ всегда вполне правильные логические рассуждения приводят к верному выводу.
Именно поэтому и возникла конструктивистская логика, в которой нет закона исключенного третьего. То есть, нет аксиомы, согласно которой "Либо А верно, либо А неверно". Конструктивистская логика существует, она разработана, ей можно пользоваться. Её недостаток в том, что она страшно тяжела и неповоротлива. Закон исключенного третьего резко облегчает работу ума. Потому математики предпочитают его использовать - так же, как физики Ньютоновскую механику.
Все знают, что она вообще-то неверна. Но используют, потому что при небольших скоростях она практически верна.
Здесь то же самое.

К сожалению, реальная ситуация ещё сложнее. Я разрешил для тебя это парадокс максимально простым способом, однако существует ещё несколько подходов к его разрешению:

Конструктивистская логика не является общепризнанной, а в целом среди математиков царит бардак и нет единого мнения, куда двигаться.
Ситуация смягчается тем, что в 99.9% случаев эта проблема неактуальна. Как и Ньютоновская механика в 99.9% случаев вполне достаточна для практических целей, хотя она, строго говоря, и неверна (а верна теория Эйнштейна).
Кстати, вот хорошая книга по теме.

Увы, современная математика, как и современная физика, в своей основе производит странное впечатление. Там ощущаются какие-то смысловые дыры.
Многие думают,  что такие дыры есть в каких угодно других науках, но не в математике. И вот теперь уважаемый читатель знает правду. :)

[А если серьезно...]А если серьезно, то опереться в этой жизни можно только на Иисуса Христа. И, может быть, ещё на немногих проверенных близких людей, по-настоящему заслуживающих доверия.

Всё остальное - прах, егоже возметает ветр от лица земли. Математика, физика - без разницы.

Comments

( 31 comments — Leave a comment )
schegloff
Sep. 11th, 2016 05:08 pm (UTC)
Первое доказательство - от квантовой неопределенности, второе - от неполноты математики... Куда не глянь, всюду Христос :)
palaman
Sep. 11th, 2016 05:10 pm (UTC)
Он меня окружил со всех сторон ещё в молодости. Именно так, как ты говоришь: Куда ни глянь, всюду Христос.

Edited at 2016-09-11 05:17 pm (UTC)
tovbard
Sep. 11th, 2016 06:22 pm (UTC)
у nezvanov есть любопытная серия записей
Логические парадоксы и человеческое сознание:

《Моя цель – показать, какие выводы можно сделать, размышляя над спецификой логических парадоксов; выводы будут касаться человеческого сознания и человеческого осмысления мира. Вот так, ни много, ни мало.》

Начинается как раз с парадоксов и автореференций.

palaman
Sep. 12th, 2016 12:31 am (UTC)
Спасибо! Очень интересно и в резонанс.
(Anonymous)
Sep. 11th, 2016 07:40 pm (UTC)
Прошу прощения...
Не знаю, имеет ли это отношение к логике, но...

Когда я начал читать условие задачи, первой мыслью было: а кто вообще это написал на листе бумаги и почему я должен верить в истинность написанного? Зачем добровольно загонять себя в заданные рамки? Никто не мешает мне отбрасывать первое утверждение не утруждаясь проверкой истинности второго. И это тоже - логика!
palaman
Sep. 12th, 2016 12:28 am (UTC)
Re: Прошу прощения...
> а кто вообще это написал на листе бумаги и почему я должен верить в истинность написанного?

Верить и не требуется.

> Никто не мешает мне отбрасывать первое утверждение не утруждаясь проверкой истинности второго.

Что же, это законная самозащита от интеллектуальной агрессии.
leakol
Sep. 12th, 2016 08:30 am (UTC)
Второе утверждение из тех двух - как раз такое. Оно не истинно, но и не ложно.(с)

Оно таково, потому что не имеет физического смысла. Слова о словах. С таким же успехом можно было обсуждать вопрос, истинно или ложно утверждение "пфждофжпдорлжпфоржржрпжфажфр33уе выафпфеп".
palaman
Sep. 12th, 2016 08:53 am (UTC)
Нет, это не то же самое.
Не каждое слово о словах лишено физического смысла. В качестве примера можно взять Ваше суждение по поводу утверждения (2):

Оно таково, потому что не имеет физического смысла. Слова о словах. С таким же успехом можно было обсуждать вопрос, истинно или ложно утверждение "пфждофжпдорлжпфоржржрпжфажфр33уе выафпфеп".

Если Вы правы, то и Ваше суждение также лишено смысла, не так ли?
(no subject) - leakol - Sep. 12th, 2016 06:59 pm (UTC) - Expand
(no subject) - palaman - Sep. 12th, 2016 08:31 pm (UTC) - Expand
(Anonymous)
Sep. 12th, 2016 11:32 am (UTC)
Здесь, кажется, второе утверждение – лишь логический инструмент. Даже, скорее, игровой математический инструмент. Оно несамостоятельно и зависит от первого утверждения, к которому прикреплено. И именно исходя из первого утверждения и информации по нему и стоит делать вывод. Факт – единорог не существует. Значит, второе утверждение нам либо не важно, либо подтверждает факт, либо ложно.
palaman
Sep. 12th, 2016 12:17 pm (UTC)
> логический инструмент

Да, конечно.
Но для науки очень важны такие инструменты, которые позволяют проводить рассуждения в ситуациях, когда опыт молчит, нет данных.

Именно поэтому проблема, которую я тут обозначил, совершенно нешуточная.

Вот например, знаменитая теорема Геделя.
Её доказательство сводится к тому, что строится утверждение, которое утверждает:
Меня доказать нельзя!
Если оно ложно, значит, его доказать можно. Но если можно доказать что-то ложное, значит, вся теория псу под хвост. Потому оно НЕ ложно.
А вот если оно истинно, то получается, что его и вправду нельзя доказать!

Это и есть (кратко и популярно) теорема Геделя: существуют истинные утверждения, которых нельзя доказать.

Естественно, я сильно упростил дело. Это видно из того, что я-то ведь доказал, что оно истинно! Хотя доказать его, как сказано, невозможно. Что сделал Гедель - оно обошел эту проблему, формализовав само понятие "доказать".

Так вот, такие штуки как теорема Геделя не могут проверены с такой же легкостью как наша вера в то, что не существует Единорога. (К слову, это тоже не так-то легко проверить:)

Потому здесь ОЧЕНЬ важно, чтобы наши логические инструменты работали безупречно.
Вадим Гришин
Sep. 12th, 2016 03:07 pm (UTC)
Я поддерживаю Максима, что Христос позволяет решить эти противоречия, поскольку, согласно нашей вере, Он является основой нашего Ума, или, как учено выражались предки, – Логоса. Однако привлекать Его имя в таком контексте для разрешения этих парадоксов, честно говоря, рановато. Что называется: на Бога надейся, а сам не плошай. Дело в том, что обычный смертный человек, даже не христианской веры, постоянно живет с разного рода противоречиями, несет их в себе, сочетает, решает, выявляет, борется, и даже находит в них источник энергии (вся жизнь борьба и т.п.). Т.е. противоречие является постоянным спутником человека и общества на всех этапах его существования, и всегда тем или иным способом разрешается или осмысливается.
Поэтому прежде, чем обращаться к высшим силам можно попробовать провести методический разбор проблемы. Мне здесь видятся три основных вопроса:
1) Что такое математика (без фанатизма :) ), почему в ней возникают подобные вопросы?
2) Как мыслить противоречие?
3) Что из всего этого может получиться?
При ответе на эти вопросы я не буду давать развернутых определений из энциклопедий, в них нет нужды, скорее я бы хотел показать некую внутреннюю энергетику проблем, дать определенные целостные их символы.
1) Для математики есть замечательное определение В.И. Арнольда, которое на мой взгляд многое в ней объясняет: «Математика – наука экспериментальная». Сделаю только одно подразумеваемое великим ученым уточнение – это наука мысленного эксперимента. Т.е. она требует для занятий не так много – голову мыслителя, ну и может быть ручку и бумагу. На самом деле, это чрезвычайно повышает ее универсальность – мысль настолько легка, что не знает никаких преград. Из этого сразу следует нетривиальное, но прочувствованное: Математика сама устанавливает для себя ограничения, потому что без ограничений невозможно ничего сказать существенного. Абракадабра получится, рассуждение «если это так, то моя бабушка балерина» и т.п. Один из участников диалога нам это наглядно продемонстрировал – механизм получения абракадабры из ложных посылок.
В какой-то момент (очень давно, не позднее Евклида, а может и раньше) это привело к появлению аксиоматического метода, который признает единственно правильным внутренним языком математики логически непротиворечивый вывод из базовых посылок (доказательство). Пояснения здесь не требуются. Напомню, только, что впоследствии это все-таки привело к некому разрыву смысла: язык доказательств оказался чересчур простым, по сравнению с растущим и осознающим себя языком математики. Про теоремы Геделя все знают, не буду разворачивать. Укажу только 2 важных момента Геделевых рассуждений с т.з. обсуждаемой темы: 1) авторефлексивные (о самом себе) высказывания 2) тема бесконечности (неперечислимость, канторов диагональный процесс и т.п.). В дальнейшем попытаемся показать единство этих моментов.
На самом деле у математики есть и еще один язык, который никогда не считался ее внутренним языком, и может быть выявлен только постфактум при осмыслении математических открытий. Это язык творчества или язык включения иного. То, что раньше было невозможно, становится словом, внутренним символом математики. Простейшие примеры: корень из отрицательного числа, возможность суммирования бесконечных сумм и рядов, возможность проведения нескольких параллельных через одну точку. Везде ход был следующий: это невозможно – давайте попробуем – способ найден. Причем на этот незамысловатый процесс порой уходили тысячелетия. После чего найденный объект включается во внутренний язык и в поле всеобъемлющих мысленных экспериментов. Чтобы быть правильно понятым, речь здесь идет не о мнимых числах и формализме матанализа, после того как они возникли, а об исходной риторической ситуации «а почему бы не попробовать?». Т.е. язык творчества – язык риторический, соединяющий в метафоре внеположные, взаимоисключающие области, это и иное. Надо сказать, что математика в начале ХХ века пыталась таким же образом штурмовать и проблему парадоксов, но не ассимилировала ее, не создала еще одно понятие внутреннего языка, а скорее стала распадаться на разные языки, в зависимости от выбора способа трактовки. Возможно ли здесь единство? Но это уже тема раздела 3).
Продолжение выложу в следующем комментарии из-за ограничения журнала
Вадим Гришин
Sep. 12th, 2016 03:08 pm (UTC)
продолжение
2) Вернемся опять к грекам и поговорим о противоречии. Опять таки не будем тратить время на формальные определения, а рассмотрим готовую динамическую (динамизм и даже, своего рода, физика процесса станут ясны по ходу) модель - законы логики Аристотеля. Вот они:
a. Закон тождества (мысль или понятие должны сохранять свою однозначность на всем протяжении рассуждения)
b. Закон противоречия (одно из несовместимых суждений – обязательно ложно)
c. Закон исключенного третьего (истинно либо суждение, либо отрицание, третьего не дано).
Представьте себе маленького человечка, который не смотрит на эти законы извне, а живет внутри и пытается честно их исполнить. Что он чувствует? Что есть кто-то большой и могучий (или что-то могучее, но человеку всегда свойственно одушевлять могущество – почему?), кто установил соблюдение одних и тех же свойств в бесконечном, неисчислимом числе случаев. В первом законе – «одно и тоже понятие всегда тождественно себе». Во втором законе – «раз уж сказали, что это не то, то ни при каких обстоятельствах уже не будет то». Чувствуете трагизм бесконечного расставания? В третьем случае еще сильнее: «раз уж сказал «это – то, а все остальное – не то», то уже нигде его не найдешь, кроме как здесь». (На самом деле по сравнению с этим трагизмом, замена третьего закона на символ Становления как единства Бытия и Небытия у Гегеля даже что-то теряет в части выразительности, но с этим, наверное, будут спорить гегельянцы и диалектики). Выводы можно сделать следующие: 1) энергия утверждения и отрицания действует с бесконечной силой 2) нужен некий гарант этой силы, ведь такого опыта нет в нашей повседневной жизни, где все расплывчато и преходяще. Таким образом, не только логические законы, но и лежащие внутри них простейшие действия утверждения и отрицания являются бесконечными символами, символами бесконечности. Тот, кто помнит состояние или видит перед собой взрослеющего подростка, хорошо поймет насколько могучей энергией обладает отрицание. Ведь в этом отрицании человек пытается родиться (и рождается!) для новой взрослой жизни. Что нам об этом намекает кабинетный логический закон: «А и не А = Ложь»? Или это не его функция? В любом случае за простенькой формулой стоит очень мощная внутренняя динамика, которую, как мне кажется, я показал.
В свете предыдущего можно посмотреть по-новому на описанную выше риторическую ситуацию математического творчества: «это невозможно – давайте попробуем – способ найден». Это ведь то самое освоение Бесконечности посредством отрицания наличного. Недаром на этом пути человечество очень быстро (с т.з. логики, а не истории) вышло на путь исследования разных видов математической бесконечности: бесконечно малых и больших величин, счетные множества и континуум и так далее.

3) Итак, мы установили:
a. Лежащие в основаниях математики сухие логические законы обладают бесконечной внутренней динамикой, энергетикой. Причем эта динамика может объективно моделироваться в мысли.
b. Эта энергетика, похоже, требует субъектного (авторефлексия и т.п.) начала в качестве гаранта.
c. В процессе развития математики выявлен особый риторический язык в виде простой грамматической конструкции «это невозможно, но давайте попробуем»
Собственно, основной мой вывод в том, что математика за более чем 2-х тысячелетнюю историю своего развития очень вплотную подходит к выражению очень живых и не кабинетных тем. Однако взаимоотношение с ними, похоже, будет полезно выстраивать, по крайней мере на первом этапе, не с точки зрения их прямого включения в язык математики, а на уровне осторожного нащупывания метафор, выразимых чисто математическими конструкциями и языками.
С этой точки зрения, метафорический анализ теории графов (деревья ~ разворачивание власти), начатый автором этого блога меня и зацепил.
palaman
Sep. 12th, 2016 03:52 pm (UTC)
> математика за более чем 2-х тысячелетнюю историю своего развития очень вплотную подходит к выражению очень живых и не кабинетных тем. Однако взаимоотношение с ними, похоже, будет полезно выстраивать, по крайней мере на первом этапе, не с точки зрения их прямого включения в язык математики, а на уровне осторожного нащупывания метафор, выразимых чисто математическими конструкциями и языками.

Это очень резонирует с моей интуицией.
математика - Борис Загреев - Dec. 7th, 2017 02:26 pm (UTC) - Expand
Re: математика - palaman - Dec. 7th, 2017 03:46 pm (UTC) - Expand
2trichter
Sep. 14th, 2016 12:36 pm (UTC)
О диагональном процессе
Диагональный процесс - порочное "доказательство". Континуума не существует.
Рекомендую ознакомиться с критикой, данной увы, на данный момент уже покойным, Валдисом Эгле
(Канториана http://vekordija.narod.ru/R-CANTO.PDF
Канториана-2 http://vekordija.narod.ru/R-CANTO2.PDF).

(Эйнштейну тоже не верьте, но его пока отложим)
Вадим Гришин
Sep. 14th, 2016 03:08 pm (UTC)
Re: О диагональном процессе
Книжки большие, да еще и в нестандартной форме изложены. Могли бы Вы сформулировать Ваше понимание, почему же порочна канторова диагональ? Так ведь интереснее, когда говоришь от себя :)
Борис Загреев
Dec. 4th, 2017 11:36 am (UTC)
Разгадка гораздо проще
На самом деле 2-е утверждение просто некорректно.
Можно сформулировать этот якобы парадокс еще проще: первое утверждение вообще лишнее, а второе сформулируем просто и кратко: "Данное утверждение (которое сейчас написано) ложно".
Получается, что если написанное ложно, то значит это утверждение правильное. Значит оно истинное, а не ложное! Значит, в соответствии с ним оно ложное. ...... и т.д. и т.п.
Дело в некорректности этого высказывания. Если вы что-то утверждаете, то вы подразумеваете истинность своего утверждения! Это неявно подразумевается. Судить об истинности или ложности вы можете только о ДРУГОМ утверждении.
Иначе это всё равно что говорить: "Этот зелёный предмет - красный". В одном высказывании сразу два противоречащих утверждения.
Точно так же в высказывании 2) имеются сразу два противоречащих друг другу утверждения.
В логике такие утверждения запрещены. В художественных произведениях можно.
palaman
Dec. 4th, 2017 03:12 pm (UTC)
Просто не значит правильно
> Если вы что-то утверждаете, то вы подразумеваете истинность своего утверждения! Это неявно подразумевается... В логике такие утверждения запрещены. В художественных произведениях можно.

Но в таком случае вообще недопустимо доказывать что бы то ни было методом от противного. Ведь в основе этого метода лежит как раз тот приём, который Вы пытаетесь объявить незаконным. А именно, при доказательстве от противного в основу доказательства кладется ложное утверждение, ложность которого и доказывается последующими рассуждениями.
Заметьте, что это область именно логики, отнюдь не художественного слова.

Впрочем, в Ваших словах есть глубокий гуманитарный смысл. Ведь с точки зрения духовной жизнь грех есть ни что иное как доказательство правоты Бога от противного. Человек в своей жизнь может исходить из гипотезы, что Бог прав. А может предположить, что Бог неправ. Результат будет в обоих случаях один и тот же: окажется, что Бог все-таки прав. Но во втором случае этот результат будет означать, что жизнь была прожита человеком, в общем-то, зря. Ведь она была построена на ложном предположении.
Потому в некотором смысле всё наоборот: в математическом смысле такие ходы вполне разрешены, в вот в реальной жизни ими лучше не пользоваться.
Из пушки по воробьям - palaman - Dec. 5th, 2017 10:48 am (UTC) - Expand
(no subject) - palaman - Dec. 6th, 2017 07:18 am (UTC) - Expand
(no subject) - Борис Загреев - Dec. 6th, 2017 01:32 pm (UTC) - Expand
(no subject) - palaman - Dec. 6th, 2017 01:46 pm (UTC) - Expand
(no subject) - Борис Загреев - Dec. 6th, 2017 02:00 pm (UTC) - Expand
(no subject) - palaman - Dec. 6th, 2017 02:07 pm (UTC) - Expand
( 31 comments — Leave a comment )