January 29th, 2016

Если n нечетно, то (n**5 - n) делится на 240 без остатка.

(n5 - n) кратно 240 для любого нечетного n.

Случайно обнаружил этот удивительный факт.
Не перестаю изумляться таким вещам.
В математике более чем где бы то ни было ощущается гармония сфер. А в теории чисел - особенно!

В связи с этим - анекдот.

Трое математиков и трое физиков собираются ехать на поезде в другой город на конференцию. Они встречаются перед кассой на вокзале. Первой подходит очередь физиков и они, как все нормальные люди покупают по билету на человека. Математики же покупают один билет на всех.
-- Как же так? - удивляются физики -- Ведь в поезде контролер, вас же без билетов оттуда выгонят!
-- Не волнуйтесь -- отвечают математики -- У нас есть МЕТОД.
Перед отправкой поезда физики рассаживаются по вагонам, но стараются проследить за применением загадочного метода. Математики же все набиваются в один туалет. Когда контролер подходит к туалету и стучит, дверь приотворяется, оттуда высовывается рука с билетом. Контролер забирает билет и дальше все они без проблем едут в пункт назначения.
После конференции те же вновь встречаются на вокзале. Физики, воодушевившись примером математиков, покупают один билет. Математики не берут ни одного.
-- А что же вы покажете контролеру?
-- У нас есть МЕТОД.
В поезде физики набиваются в один туалет, математики -- в другой. Незадолго до отправления, один из математиков подходит к туалету, где прячутся физики.
Стучит. Высовывается рука с билетом. Математик забирает билет и возвращается к коллегам.

МОРАЛЬ: Нельзя использовать математические методы не понимая их до конца!

ОБОБЩЕНИЕ: Если n нечетное, а s простое число, то (ns - n) делится без остатка на 24s. Кроме! случая s=3. В этом случае (n3 - n) делится только на 24.