Максим Солохин (palaman) wrote,
Максим Солохин
palaman

Category:

Четвёртое измерение

Мне попалась в Сети очень поучительная гифка, позволяющая представить себе, наглядно ощутить, что такое четвертое измерение. Вот она:


Это проекция вращающегося четырехмерного куба.

С первого взгляда выглядит это как нечто слишком сложное и невнятное. Но давайте разберёмся.

Чтобы понять, что такое "четвёртое измерение", лучше всего действовать по аналогии. Вот представьте себе, что мы должны были бы объяснить двумерным (плоским) человечкам, что такое трехмерное пространство. Двумерный человечек легко может понять, что такое квадрат, так как квадрат - плоская фигура из его мира. Тогда мы скажем ему, что наш трехмерный куб - это два одинаковых квадрата, вершины которых попарно соединены между собой, так что получаются ещё четыре квадрата. Конечно, от такого объяснения у наших плоских человечков поначалу крыша поедет. И тогда мы предложим им:

- А хотите увидеть проекцию куба на ваше плоское двумерное пространство? Мы можем нарисовать её, используя законы перспективы. Вот смотрите:



Вы видите шесть квадратов, связанных между собой. Да-да! эти именно квадраты. Все их ребра имеют одну и ту же длину, только проекции этих ребер на 2-мерное пространство различны и изменяют свою длину. Когда ребро приближается к нам, его проекция увеличивается. А когда удаляется - уменьшается. Кроме того, параллельные друг другу ребра именно параллельны! Их проекции, в соответствии с законами перспективы, кажутся сходящимися в одну точку. Далекие предметы кажутся маленькими, не так ли? Именно так работают законы перспективной проекции - "рельсы сходятся". Итак, на самом деле они именно параллельны. Глядя на эту плоскую и потому вполне понятную для вас картинку вы, плоские человечки, можете наглядно представить себе, что такое трехмерное пространство. Для этого лишь вообразите себе, что каждый квадрат не делается меньше, а просто удаляется от вас. Вы привыкли к тому, что предмет должен уйти в сторону от вас для того, чтобы удалиться. А здесь он удаляется и приближается, как будто не сходя с места! Удаляется в непонятное для вас третье измерение и приближается обратно. При этом проекция его увеличивается и уменьшается, но на самом деле он сохраняет и размер, и форму. И противоположные ребра квадрата остаются все время параллельными, хотя вам и кажется, будто бы они "сходятся" как рельсы.

Согласитесь, что после такого объяснения плоские человечки вполне могут хотя бы в какой-то мере ощутить, что такое трехмерие и что такое объем, если будут достаточно долго и внимательно глядеть на построенную нами (плоскую!) модель объемного куба.

Вот точно такую же возможность предоставил нам и неведомый мне аниматор, нарисовав трехмерную проекцию вращающегося четырехмерного куба. И чтобы ощутить и четырехмерно пережить то, что мы видим, глядя на эту модель, нам достаточно понять, что все рёбра этого куба имеют один и тот же размер! В проекции они кажутся то больше, то меньше. Но это лишь потому, что они то приближаются к нашему трехмерному миру, то удаляются от него в четвертое измерение. Удаляются и приближаются, не сходя с места! Также и параллельные ребра не перестают быть параллельными, просто в проекции они кажутся сходящимися в одну точку, как рельсы, как то и положено по законам перспективы.

Четырехмерный куб - это два куба, вершины которых попарно соединены между собой так, что между ними возникает ещё шесть связывающих их кубов. По законам перспективы, эти кубы кажутся нам пирамидками, потому что образующие их квадраты находятся на разном расстоянии от нашего 3-х мерного пространства. И когда грань кубика удаляется от нас в четвертое измерение, нам кажется, что она уменьшается.

Вот и всё. Очень просто!

Я рекомендую сначала выбрать какое-то одно ребро и следить за ним, помня, что оно имеет постоянный размер. Тогда можно ощутить, как оно приближается и удаляется от нас. Потом ту же самую медитацию проделать с другим ребром, с третьим. Это первое упражнение.
Затем выбрать какой-то квадрат. И попытаться увидеть, что это именно квадрат, и размер его не меняется. Просто он крутится в пространстве, то удаляясь, то приближаясь к нам. Это второе упражнение. Оно труднее, но вполне исполнимо.
Наконец, надо выбрать кубик и следить за ним, помня о том, что это именно кубик! Это уже на грани возможного для нашего ума, и здесь Вы в какой-то момент можете одним глазком заглянуть в четвертое измерение.
Ну, а увидеть и осознать всю картину в целом, наверное, для трехмерного человека и невозможно...

Ещё варианты той же гифки:






UpDated!

Я осознал ошибку, которую делают авторы ВСЕХ этих гифок.
Они не понимают, что маленькое ребро всегда дальше большого, и при их наложении друг на друга большое должно заслонять собой маленькое!


Маленький куб не внутри большого, он позади большого.

Вот бы найти кого-то, кто нарисует без этой ошибки. Она реально сбивает с толку, мешает понять происходящее!

Тогда уж лучше смотреть на более схематичное изображение:



И, для полноты картины, как собирают четырехмерный кубик Рубика: https://www.youtube.com/watch?time_continue=1&v=SrMbD6Tc7zk


Tags: математика, психология
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 23 comments